La recherche de la vérité

Si la démonstration doit être le modèle de l'établissement de la vérité, il importe de s'intéresser plus avant à son mode d'établissement des propositions vraies.

La démonstration s'appuie sur un type de raisonnement particulier : le raisonnement déductif. Celui-ci doit être distingué d'un autre type de raisonnement : l'induction. Ces deux formes de raisonnement se différencient en fonction du lien établi entre les prémisses et la conclusion.

Dans un raisonnement inductif, c'est-à-dire dans une induction, on part d'observations pour établir une conclusion dont la vérité est probable. Je dis par exemple que tous les corbeaux observés jusqu'à présent sont noirs, et j'en tire la conclusion que tous les corbeaux sont noirs. Cette conclusion n'est que probable : il se peut qu'un jour on rencontre un corbeau blanc. L'induction part de la répétition de phénomènes particuliers pour en tirer une loi générale, mais pas nécessaire.

La déduction suit le cheminement inverse : partant de prémisses générales, elle les applique à un cas particulier. Ainsi, dans une déduction, si les prémisses sont vraies, alors la conclusion est nécessairement vraie. Aristote a défini le syllogisme comme le modèle du raisonnement démonstratif.

Un syllogisme se fait en trois étapes : une prémisse majeure, une prémisse mineure, et une conclusion qui se déduit des deux prémisses. Pour qu'il soit valide, il faut :

• Un terme moyen qui est sujet de la prémisse majeure et objet de la prémisse mineure (hommes).
• Un terme majeur qui est objet de la prémisse majeure et objet de la conclusion (mortels).
• Un terme mineur qui est sujet de la prémisse mineure et sujet de la conclusion (Socrate).

Le syllogisme peut être détourné pour constituer des faux raisonnements, les sophismes et les paralogismes. Ce sont des raisonnements qui ont l'apparence de la validité mais qui ne sont en fait pas valides logiquement. Les prémisses sont vraies, mais la conclusion ne l'est pas.

Le terme "sophisme" est issu des sophistes qui, dans la Grèce antique, enseignaient l'éloquence et l'art de la persuasion (généralement sans souci de la vérité). C'est précisément pour démasquer leur rhétorique parfois fallacieuse que les philosophes comme Aristote et Platon ont posé les bases de la logique.

Le raisonnement déductif est le type de raisonnement logique qui caractérise la démonstration. Mais il reste à déterminer comment fonctionne la démonstration mathématique.

Un axiome désigne une vérité indémontrable qui doit être admise comme vraie. Les axiomes constituent donc la limite de la démonstration : ils ne peuvent pas être démontrés. Descartes souligne ainsi que ces propositions premières indémontrables sont immédiatement connues par l'esprit : leur vérité se voit d'elle-même. Ce sont donc des évidences, des "intuitions".

Ici, l'intuition ne désigne pas l'intuition sensible, c'est-à-dire le fait d'appréhender le monde extérieur grâce aux cinq sens (car celle-ci peut nous induire en erreur), mais l'intuition intellectuelle, c'est-à-dire l'acte par lequel l'esprit saisit immédiatement, sans intermédiaire, le vrai. Comme saisie immédiate du vrai, l'intuition n'a besoin ni d'être démontrée, ni d'être prouvée par l'expérience.

On ne voit pas comment on pourrait démontrer les axiomes eux-mêmes, étant donné que les axiomes sont les principes les plus élémentaires d'une théorie. Qu'est-ce qui permet alors d'affirmer la vérité des axiomes si on ne peut pas les démontrer ?

En tant que principes les plus élémentaires d'une théorie, les axiomes n'ont pas à être démontrés. Il importe alors de déterminer ce qui permet d'en affirmer la vérité. Pour cela, il est possible, comme le fait Pascal, de distinguer deux ordres de connaissance : celle de la raison et celle du cœur, qui donne accès à des vérités évidentes par elles-mêmes.

L'intuition des premiers principes, évidents et certains, garantirait donc la vérité des connaissances mathématiques. Pourtant, les mathématiques modernes ont montré que l'intuition sensible joue un rôle déterminant dans la production des axiomes : ceux-ci ne seraient pas des idées évidentes en elles-mêmes, mais des idées tirées de l'intuition sensible.

L'histoire des mathématiques montre que ces premiers principes qui semblaient évidents en eux-mêmes se sont révélés partiellement faux. Par exemple l'idée que “le tout est plus grand que la partie” semble évidente. En réalité, dans le cas d'une partie infinie d'un ensemble infini, cela n'est pas vrai.

De la même manière, les axiomes de la géométrie euclidienne ne sont plus absolus. La géométrie euclidienne part du postulat que "par un point extérieur à une droite on peut faire passer une unique parallèle à cette droite". Or Riemann et Lobatchevski partent de postulats inverses :

• Selon la géométrie de Riemann, par un point extérieur à une droite on ne peut faire passer aucune parallèle à cette droite.
• Selon la géométrie de Lobatchevski, par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinité de parallèles à cette droite.

A partir de ces postulats, on peut enchaîner de façon rigoureuse la démonstration de théorèmes et mettre en place un système géométrique valide. On voit donc bien qu'un système déductif ne tient qu'à sa forme, indépendamment de l'évidence intuitive de ses propositions premières.

La notion d'évidence est ainsi remise en cause rapidement. Il semble qu'on ne puisse pas dire d'une proposition mathématique qu'elle est absolument "vraie" ou "fausse" car, à l'origine du raisonnement, se trouve toujours des axiomes posés intuitivement. En conséquence, on dira que la proposition est "vraie" ou "fausse" relativement à un ensemble d'axiomes donnés. C'est une des grandes limites de la démonstration mathématique.

Cette découverte de la dépendance des vérités mathématiques à leur cadre théorique donne lieu au développement de divers systèmes axiomatiques. Ainsi, on considère qu'une vérité démontrée ne l'est qu'à l'intérieur du système théorique particulier au sein duquel elle est insérée. Le choix du cadre théorique ne dépendra plus dès lors de son caractère vrai ou faux, mais de sa pertinence ou de son utilité quant à ce qui est à démontrer. C'est ce que souligne le mathématicien Poincaré.