Mise en équation du mouvement

 

1) Application de la seconde loi de Newton

On lance un projectile dans l'air avec une vitesse initiale de valeur Vo faisant un angle quelconque avec l'horizontale. Le mouvement du point G, centre d'inertie du solide, s'effectue dans le plan vertical.

Somme des forces extérieures agissant sur le projectile de masse m en chute parabolique :

: vecteur poids de l'objet

: poussée d'Archimède
: force de frottement fluide

La poussée d'Archimède peut être négligée car le poids du volume d'air déplacé est négligeable devant le poids de l'objet. De plus pour de faibles distances parcourues et des vitesses de déplacement faibles, on pourra négliger les forces de frottement de l'air sur le projectile.

La somme des forces extérieures agissant sur le solide de masse 'm' en mouvement dans l'air se réduit essentiellement à son poids (la poussée d'Archimède et les forces de frottement sont négligeables :

Seconde loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique : La somme des forces extérieures appliquées sur le centre d'inertie du solide de masse 'm' dans un référentiel galiléen, est égale au produit de la masse par le vecteur accélération du centre d'inertie G :

Par conséquent le vecteur accélération du centre d'inertie du solide est égal au vecteur champ de pesanteur terrestre :

L'accélération d'un projectile dans un champ de pesanteur constant est donc une accélération uniforme.

Le mouvement du centre d'inertie du projectile ne dépend pas de sa masse, mais uniquement des conditions initiales (vitesse et position).

2) Equation différentielle du mouvement:

: vecteur vitesse initiale du projectile.

Le vecteur position du centre d'inertie est, dans le repère orthonormé  cartésien orientant respectivement  les axes x, y, z :

Le vecteur vitesse du centre d'inertie G du solide est égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

De même le vecteur accélération du centre d'inertie du solide est égal à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

D'après la seconde loi de Newton : 

Par conséquent les équations différentielles du mouvement sont :

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