La recherche de la vérité

A/ Le raisonnement déductif

1/ Induction et déduction

Si la démonstration doit être le modèle de l'établissement de la vérité, il importe de s'intéresser plus avant à son mode d'établissement des propositions vraies.

La démonstration s'appuie sur un type de raisonnement particulier : le raisonnement déductif. Celui-ci doit être distingué d'un autre type de raisonnement : l'induction. Ces deux formes de raisonnement se différencient en fonction du lien établi entre les prémisses et la conclusion.

Prémisse

Une prémisse est une proposition, considérée comme évidente par elle-même ou démontrée dans un autre raisonnement, sur laquelle on base un raisonnement et une conclusion.

 

Dans un raisonnement inductif, c'est-à-dire dans une induction, on part d'observations pour établir une conclusion dont la vérité est probable. Je dis par exemple que tous les corbeaux observés jusqu'à présent sont noirs, et j'en tire la conclusion que tous les corbeaux sont noirs. Cette conclusion n'est que probable : il se peut qu'un jour on rencontre un corbeau blanc. L'induction part de la répétition de phénomènes particuliers pour en tirer une loi générale, mais pas nécessaire.

La déduction suit le cheminement inverse : partant de prémisses générales, elle les applique à un cas particulier. Ainsi, dans une déduction, si les prémisses sont vraies, alors la conclusion est nécessairement vraie. Aristote a défini le syllogisme comme le modèle du raisonnement démonstratif.

 

Syllogisme

Le syllogisme est un raisonnement formel qui établit une conclusion nécessaire déduite à partir des prémisses.

La phrase suivante est un syllogisme classique : tous les hommes sont mortels (prémisse majeure) ; or Socrate est un homme (prémisse mineure) ; donc Socrate est mortel (conclusion).

 

Un syllogisme se fait en trois étapes : une prémisse majeure, une prémisse mineure, et une conclusion qui se déduit des deux prémisses. Pour qu'il soit valide, il faut :

  • Un terme moyen qui est sujet de la prémisse majeure et objet de la prémisse mineure (hommes).
  • Un terme majeur qui est objet de la prémisse majeure et objet de la conclusion (mortels).
  • Un terme mineur qui est sujet de la prémisse mineure et sujet de la conclusion (Socrate).
 
 

2/ Les limites du raisonnement déductif

Le syllogisme peut être détourné pour constituer des faux raisonnements, les sophismes et les paralogismes. Ce sont des raisonnements qui ont l'apparence de la validité mais qui ne sont en fait pas valides logiquement. Les prémisses sont vraies, mais la conclusion ne l'est pas.

 

Sophisme

Un sophisme est un raisonnement qui, partant de prémisses vraies et obéissant aux règles de la logique, aboutit à une conclusion inadmissible.

Par exemple, on trouve dans la pièce Rhinocéros de Ionesco un sophisme célèbre. Le logicien dit en effet au vieux monsieur : "tous les chats sont mortels. Socrate est mortel. Donc Socrate est un chat." On peut voir que le raisonnement n'est pas valide (il ne s'agit pas d'un syllogisme), car le terme moyen et le terme majeur ne sont pas à leurs places habituelles.

 

Paralogisme

Un paralogisme est un raisonnement faux qui apparaît comme rigoureux. Contrairement au sophisme, dans lequel le locuteur a une volonté de tromper, dans le paralogisme le locuteur est de bonne foi.

Par exemple, le syllogisme suivant : "Tous les chats ont cinq pattes. Gros minou est un chat. Donc Gros minou a cinq pattes." Ce raisonnement est valide logiquement, mais il s'appuie sur des prémisses fausses.

 

Le terme "sophisme" est issu des sophistes qui, dans la Grèce antique, enseignaient l'éloquence et l'art de la persuasion (généralement sans souci de la vérité). C'est précisément pour démasquer leur rhétorique parfois fallacieuse que les philosophes comme Aristote et Platon ont posé les bases de la logique.

Le raisonnement déductif est le type de raisonnement logique qui caractérise la démonstration. Mais il reste à déterminer comment fonctionne la démonstration mathématique.

  

B/ Le modèle démonstratif mathématique

La démonstration, comme système qui produit des propositions vraies grâce à des conclusions nécessaires, permet d'établir la vérité. Elle constitue un modèle dans la recherche de la vérité.

C'est pourquoi Descartes a l'idée de faire une "mathématique universelle" : le raisonnement logique est applicable quels que soient les objets de connaissance, il permet donc à l'esprit d'accéder à toutes les vérités. Le modèle mathématique ne se cantonne plus aux connaissances mathématiques : il devient un modèle universel de la connaissance. Descartes va ainsi appuyer sa méthode de recherche de la vérité sur la méthode des mathématiques, ce qui produit le caractère certain des propositions qu'il avance.

Mais il reste à éclaircir un point du fonctionnement de la démonstration : si celle-ci permet d'établir de façon certaine la vérité à partir d'axiomes, ces axiomes eux-mêmes peuvent-ils être démontrés ?

La difficulté est la suivante : si l'on tente de démontrer les théorèmes utilisés, on est alors conduit à remonter de principes en principes jusqu'aux premiers fondements d'une théorie, ses premiers principes (ses axiomes).

En fait, au sein des mathématiques, il y a un certain nombre de propositions qui sont avancées sans être démontrées : la démonstration ne peut pas remonter à l'infini, il faut qu'elle ait un point de départ. Ce sont les axiomes : il s'agit de propositions dont aucun esprit sain ne peut douter. Hormis ces premiers principes, chaque terme introduit doit être rigoureusement défini, et chaque proposition avancée doit être démontrée.

 

Chaque théorème se trouve ainsi relié, par un rapport nécessaire, aux propositions dont il se déduit comme conséquence, de sorte que, de proche en proche, se constitue un réseau serré où, directement ou indirectement, toutes les propositions communiquent entre elles. L'ensemble forme un système dont on ne pourrait distraire ou modifier une partie sans compromettre le tout.

Blanché

L'Axiomatique

1955

Blanché met ici en évidence le fait que la démonstration permet de bâtir un système de connaissances au sein duquel les propositions, toutes démontrées, sont liées les unes aux autres.
 

C/ Les limites de la démonstration

1/ Le statut des axiomes

Un axiome désigne une vérité indémontrable qui doit être admise comme vraie. Les axiomes constituent donc la limite de la démonstration : ils ne peuvent pas être démontrés. Descartes souligne ainsi que ces propositions premières indémontrables sont immédiatement connues par l'esprit : leur vérité se voit d'elle-même. Ce sont donc des évidences, des "intuitions".

 

Les premiers principes ne peuvent être connus que par intuition ; et au contraire les conséquences éloignées ne peuvent l'être que par déduction.

Descartes

Règles pour la direction de l'esprit

1628

Descartes souligne donc que les premiers principes, c'est-à-dire ceux sur lesquels va être bâtie une théorie, ne peuvent être démontrés : ils font l'objet d'une saisie immédiate.
 

Ici, l'intuition ne désigne pas l'intuition sensible, c'est-à-dire le fait d'appréhender le monde extérieur grâce aux cinq sens (car celle-ci peut nous induire en erreur), mais l'intuition intellectuelle, c'est-à-dire l'acte par lequel l'esprit saisit immédiatement, sans intermédiaire, le vrai. Comme saisie immédiate du vrai, l'intuition n'a besoin ni d'être démontrée, ni d'être prouvée par l'expérience.

On ne voit pas comment on pourrait démontrer les axiomes eux-mêmes, étant donné que les axiomes sont les principes les plus élémentaires d'une théorie. Qu'est-ce qui permet alors d'affirmer la vérité des axiomes si on ne peut pas les démontrer ?

En tant que principes les plus élémentaires d'une théorie, les axiomes n'ont pas à être démontrés. Il importe alors de déterminer ce qui permet d'en affirmer la vérité. Pour cela, il est possible, comme le fait Pascal, de distinguer deux ordres de connaissance : celle de la raison et celle du cœur, qui donne accès à des vérités évidentes par elles-mêmes.

 

Les principes se sentent, les propositions se concluent et le tout avec certitude quoique par différentes voies et il est aussi inutile et aussi ridicule que la raison demande au cœur des preuves de ses premiers principes pour vouloir y consentir, qu'il serait ridicule que le cœur demandât à la raison un sentiment de toutes les propositions qu'elle démontre pour vouloir les recevoir.

Pascal

Pensées

1669
Il y a donc deux voies distinctes d'accès à une vérité certaine : le cœur fournit les premiers principes, et la raison démontre par la suite des propositions à partir d'eux. Ces deux modes d'accès au vrai garantissent la certitude.
 

L'intuition des premiers principes, évidents et certains, garantirait donc la vérité des connaissances mathématiques. Pourtant, les mathématiques modernes ont montré que l'intuition sensible joue un rôle déterminant dans la production des axiomes : ceux-ci ne seraient pas des idées évidentes en elles-mêmes, mais des idées tirées de l'intuition sensible.

 

2/ Relativité des modèles logiques et mathématiques

L'histoire des mathématiques montre que ces premiers principes qui semblaient évidents en eux-mêmes se sont révélés partiellement faux. Par exemple l'idée que “le tout est plus grand que la partie” semble évidente. En réalité, dans le cas d'une partie infinie d'un ensemble infini, cela n'est pas vrai.

De la même manière, les axiomes de la géométrie euclidienne ne sont plus absolus. La géométrie euclidienne part du postulat que "par un point extérieur à une droite on peut faire passer une unique parallèle à cette droite". Or Riemann et Lobatchevski partent de postulats inverses :

  • Selon la géométrie de Riemann, par un point extérieur à une droite on ne peut faire passer aucune parallèle à cette droite.
  • Selon la géométrie de Lobatchevski, par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinité de parallèles à cette droite.

A partir de ces postulats, on peut enchaîner de façon rigoureuse la démonstration de théorèmes et mettre en place un système géométrique valide. On voit donc bien qu'un système déductif ne tient qu'à sa forme, indépendamment de l'évidence intuitive de ses propositions premières.

La notion d'évidence est ainsi remise en cause rapidement. Il semble qu'on ne puisse pas dire d'une proposition mathématique qu'elle est absolument "vraie" ou "fausse" car, à l'origine du raisonnement, se trouve toujours des axiomes posés intuitivement. En conséquence, on dira que la proposition est "vraie" ou "fausse" relativement à un ensemble d'axiomes donnés. C'est une des grandes limites de la démonstration mathématique.

Cette découverte de la dépendance des vérités mathématiques à leur cadre théorique donne lieu au développement de divers systèmes axiomatiques. Ainsi, on considère qu'une vérité démontrée ne l'est qu'à l'intérieur du système théorique particulier au sein duquel elle est insérée. Le choix du cadre théorique ne dépendra plus dès lors de son caractère vrai ou faux, mais de sa pertinence ou de son utilité quant à ce qui est à démontrer. C'est ce que souligne le mathématicien Poincaré.

 

Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode.

Poincaré

La Science et l'Hypothèse

1902

Ce qui explique que l'on retienne un cadre théorique valide plutôt qu'un autre n'est pas qu'il est plus vrai, mais qu'il est plus commode − c'est-à-dire plus pertinent, plus efficace.
 
 
 
 
 
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