CHUTE VERTICALE D'UNE BILLE SOUMISE A UNE FORCE DE FROTTEMENT FLUIDE

Rappelons que la valeur f de la force de frottement dépend de la la nature du fluide. Elle dépend également de la vitesse V du solide en translation, de sa forme, de son état de surface. Nous traiterons un exemple sous forme d'exercice.


ENONCE :

Une bille en verre (masse volumique m, rayon r) est lâchée, sans vitesse initiale, à la surface d'un tube vertical contenant de l'huile de ricin (masse volumique mo).

a- Exprimer, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiques m et mo, le poids P et la poussée d'Archimède P exercée par le liquide sur la bille. (corrigé)

b- Etablir l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme :

= - 6 p h r (24) (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible)

· h est le coefficient de viscosité du liquide

· est le vecteur vitesse de la bille en translation rectiligne

· r est le rayon de la bille (c)

c- Déterminer, en fonction g, m et mo, l'accélération initiale de la bille. (c)

d- Déterminer, en fonction g, m, mo, r et h, la vitesse limite de la bille. (c)

e- Calculer numériquement le coefficient de viscosité h de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est Vlim = 0,71 mm / s. (c)

On donne :

r = 1 mm m = 2600 kg / m3 mo = 970 kg / m3 g = 9,81 N / kg

Remarque : Dans le problème résolu 12-B nous verrons que l'équation différentielle du mouvement peut être résolue de façon approchée par la méthode graphique d'Euler. Nous verrons également que si, comme c'est le cas dans cet exercice, la force de frottement fluide obéit à la formule de Stokes (force f proportionnelle à V), alors on peut également donner la solution analytique v = f (t)


SOLUTION :

a- (énoncé) Exprimons, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiques m et mo, le poids P et la poussée d'Archimède P.

- Le volume de la bille est :

v = p r3 (25)

Sa masse est :

m = v m (26)

m = p r3 m (27)

Son poids s'exprime sous la forme :

P = m g = p r3 m g (28)

- La poussée d'Archimède P exercée par le liquide sur la bille est égale au poids du liquide déplacé par la bille :

P = v mo g (29)

P = v mo g = p r3 mo g (30)

b- (e) Etablissons l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme :

= - 6 p h r (31) (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible)

Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère ( O, ).

Système étudié : la bille

Forces extérieures s'exerçant sur la bille :

· Le poids , essentiellement dû à l'action gravitationnelle de la Terre sur la bille

· La poussée d'Archimède exercée par le liquide sur la bille

· La force de frottement fluide = - 6 p h r = - 6 p h r V (32) également exercée par le liquide sur la bille (V>0).

Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(33)

Ici, ce théorème s'écrit :

+ + = m (34)

Utilisons les expressions :

· = p r3 m g (28 bis)

· = - p r3 m o g (30 bis) (g >0)

· = - 6 p h r V (32) (V varie mais reste > 0)

Il vient, avec = m (35) :

p r3 m g - p r3 mo g - 6 p h r V = m (36)

Soit :

p r3 (m - mo) g - 6 p h r V = m (37)

Introduisons m = p r3 m :

p r3 (m - mo) g - 6 p h r V = p r3 m (37 bis)

(m - mo) g / m - (9 /2) h / r2 m V = (37 ter)

Soit, en plaçant le terme constant dans le second membre :

+ 9 h / (2 r2 m ) V = g (1 - mo / m) (38)

+ = C (39) avec

t = 2 m r 2 / 9 h (40) et C = g (1 - mo / m) (41)

Unités internationales : les trois termes de l'équation (39) doivent avoir la même unité (m / s²).

t et dt en (s) - V et dV en (m / s) - t en (s) - C en (m/ s²)

Remarque : t est souvent appelée constante de temps associée au montage.

c- (e) Déterminons, en fonction g, m et mo, l'accélération initiale de la bille.

A l'instant du départ t = 0 s, l'énoncé dit que la vitesse est nulle.

Portons dans l'équation différentielle + = C (39). On obtient :

()o = ao = C = g (1 - mo / m) (42)

d- (e) Déterminons, en fonction g, m, mo, r et h, la vitesse limite Vlim de la bille.

Initialement nulle, la force de frottement f augmente proportionnellement à la vitesse. Le moment vient où la force motrice motrice est compensée par la somme des deux forces résistantes + lim . La somme des forces est alors nulle et, d'après la deuxième loi de Newton :

+ + lim = m lim (43)

lim = (44) l'accélération limite lim est nulle.

La relation + = C (39) donne alors, avec () im = 0 m / s² :

Vlim = t ´ C = (2 m r 2 / 9 h ) ´ g (1 - mo / m)

Vlim = 2 g r 2 (m - mo) / 9 h (45)

e- (e) Calculons numériquement le coefficient de viscosité h de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est Vlim = 0,71 mm / s.

L'énoncé donne :

r = 10 - 3 m m = 2600 kg / m3 mo = 970 kg / m3 g = 9,81 N / kg Vlim = 0,71 mm / s = 7,1 ´ 10 - 4 m / s

La relation Vlim = 2 g r 2 (m - mo) / 9 h (45) peut aussi s'écrire :

h = 2 g r 2 (m - mo) / 9 Vlim (45 bis)

h = 2 ´ 9,81 ´ 10 - 6 ´ (2600 - 970) / (9 ´ 7,1 ´ 10 - 4)

h = 19,62 ´ 10 - 6 ´ 1630 / (63,9 ´ 10 - 4)

h = 5,00 SI = 5,00 N.s / m² = 5,00 Pa.s (46)

Remarque : Dans le problème résolu 12-B nous verrons que l'équation différentielle du mouvement peut être résolue de façon approchée par la méthode graphique d'Euler. Nous verrons également que si, comme c'est le cas dans cet exercice, la force de frottement fluide obéit à la formule de Stokes (force f proportionnelle à V), alors on peut également donner la solution analytique v = f' (t).

 

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