Interaction et champ gravitationnel

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En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle.

Il est possible de montrer que le champ gravitationnel $\vec{\mathcal{G}}(\vec{r})$ créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire newtonien noté $\Phi(\vec{r})$ en $1/r$ , analogue au potentiel électrostatique. En fait, il existe une analogie formelle entre champ électrostatique et champ gravitationnel, et leurs potentiels scalaires respectifs.

La théorie de la relativité générale interprète le champ gravitationnel comme une modification de la métrique de l'espace-temps. À la limite, les équations de champ d'Einstein se ramènent à celles du champ gravitationnel classique qui sera seul considéré dans le présent article. L'approximation newtonienne est valable pour des corps dont les vitesses sont faibles devant celle de la lumière dans le vide $c$ , et si le potentiel gravitationnel $\Phi$ qu'ils créent est tel que $\frac{\Phi}{c^2} \ll 1$ .

1- LOI DE GRAVITATION UNIVERSELLE (Newton 1687)

· Deux objets ponctuels A et B exercent l'un sur l'autre une force attractive dirigée suivant la droite qui les joint. Cette force varie proportionnellement au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

(1) et (1 bis)

- est le vecteur unitaire dirigé de A vers B.

- r est la distance qui sépare A et B.

- G est la constante de gravitation : G = 6,67 ´ 10^{- 11} dans le système international d'unités (S.I.)

· Cette relation est encore vraie pour deux objets à répartition sphérique de masse. Elle servira, en particulier, à expliquer pourquoi la Lune décrit une trajectoire quasi circulaire autour de la Terre (voir la leçon 10).

2- CHAMP DE GRAVITATION. VECTEUR CHAMP DE GRAVITATION

· En un point B de l'espace existe un champ de gravitation caractérisé par le vecteur si un corps de masse M_B, placé en B, est soumis à une force gravitationnelle :

= M_B (2)

Le vecteur représente le champ de gravitation créé en B par les masses autres que M_B

· Un objet ponctuel de masse M_A, placé au point A, engendre un champ de gravitation au point B, situé à la distance r du point A :

g = G.M_A/ r² (3)

est centripète (4)

Cette relation (3) est une conséquence des relations F_B = G.M_AM_B / r² (1) et F_B = M_B.g (2)

- Le champ de gravitation créé par un objet à répartition sphérique de masse est le même, pour un point extérieur, que celui créé par un objet ponctuel de même masse, placé en son centre.

· Le champ de gravitation de la terre de masse M₀, de rayon R₀, varie avec l'altitude :

- Au niveau du sol, on peut écrire g₀= G.M₀/ R₀² ou encore G.M₀ = g₀. R₀² (5)

- A l'altitude h (R = R₀ + h) on écrit g = G.M₀/ R² ou encore G.M₀ = g. R² (6)

Les relations (5) et (6) permettent d'écrire :

g ´ R² = g₀ ´ R₀² (7)

Comme R = R₀ + h, la relation ci-dessus s'écrit encore g = g₀(R₀ / R₀+ h)² (8)

3- POIDS ET FORCE DE GRAVITATION. CHAMP DE PESANTEUR DISTINCT DU CHAMP DE GRAVITATION

· Définition : On appelle poids d'un objet ponctuel, situé en un point M donné, la force s'opposant à la tension du fil qui maintient cet objet ponctuel au repos par rapport au solide Terre, pris comme référentiel.

Dans ce système de référence, le poids de l'objet ponctuel peut se mettre sous la forme :

= m où est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.

Remarque : Pour un objet de dimensions finies le montage devrait se trouver sous vide afin de s'affranchir de la poussée d'Archimède.

· Distinction entre le poids d'un objet et la force d'attraction qu'exerce la Terre sur cet objet.

On peut écrire : = + + (9)

- est le poids de l'objet.

- est la force d'attraction qu'exerce la terre sur cet objet.

- est la force due à l'attraction des astres autres que la terre (lune, soleil, etc) sur cet objet.

- est la force due à la rotation de la terre.

· Dans les problèmes étudiés en terminale S on peut négliger et .

On confond alors le poids d'un objet et la force d'attraction de Newton qu'exerce la terre sur cet objet.

On écrit :

=

soit, en confondant la masse pesante et la masse gravitationnelle :

m = m ou encore :

= (10)

On confond le vecteur champ de pesanteur et le vecteur champ de gravitation .

4- CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre, on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur a même direction, même sens et même valeur en tout point de ce domaine restreint.